Salvador López Arnal
Rebelión
Junto a las presentciones y aproximaciones de Jesús Mosterín y los artículos de Albert Domingo Curto, dos han sido, en mi opinion, los mejores trabajos publicados hasta la fecha sobre la obra lógica de Manuel Sacristán. El primero, que lleva en su mismo título un homenaje explícito a la obra sacristianana, tiene al lógico, filósofo, profesor e historiador Luis Vega Reñón como autor: “El lugar de Sacristán en los estudios de lógica en España”. El segundo, de Paula Olmos y de Luis Vega, se centra en “La recepción de Gödel en España” [2]. En ambos se destaca el papel de Sacristán en la comprensión ajustada y en la difusion del gran teorema de incompletud de Gödel en nuestro país [3].
Lo esencial de la aportación gödeliana era apuntado por el propio Sacristán en las clases de metodología de las ciencias sociales del curso 1983-1984 en los términos siguientes:
En primer lugar, señalaba, lo que Gödel había demostrado es que no era posible construir un cálculo que fuera, simultáneamente, completo y consistente y que tuviera toda la expresividad de la aritmética, pero sí, en cambio,
“[…] puede haber cálculos parciales que sea su vez completos y no contradictorios. Es decir, el teorema de incompletud prueba es que no es posible construir un cálculo que resuelva todos los problemas de la aritmética, pero no impide que podamos construir un cálculo efectivo frente a determinado problema”.
Por otra parte, lo que el teorema de incompletud de Gödel parecía señalar es que “no es posible buscar fundamentos definitivos y absolutos del conocimiento científico, ni siquiera en el ámbito de las ciencias formales”.
Finalmente, concluía Sacristán, el teorema de Gödel habría que verlo más bien “como un éxito de la lógica y de la matemática que como fracaso alguno: son las únicas disciplinas que han sido capaces de decir hasta donde pueden llegar”.
No fue la única ocasión en esos años. Como un Sokal-Bricmont avant la lettre, Sacristán comentó críticamente en las clases de metodología de 1981-82 los usos imprecisos y poco informados de Régis Debray en algunos ensayos de teoría política publicados en España en aquellos años (al igual que en algunos de sus comentaristas) en los que la noción de completed e incompletud se estiraba de forma excesivamente metafórica y arriesgada.
Pero fue en sus dos libros de lógica donde se aproximó a la figura de Gödel, a sus teoremas y a las implicacioes filosóficas de estos con más detalle. Especialmente, en Introducción a la lógica y al análisis formal . Las páginas dedicadas a Gödel en Lógica elemental , el ensayo que su hija Vera Sacristán editó en Vicens Vices diez años después de su fallecimiento, pueden verse en la última sección del volumen, “Esquema de historia de la lógica”, páginas 340-345.
De estos dos libros, y de algunos materiales complementarios he entresacado algunas de sus consideraciones más centrales.
Una síntesis del teorema de incompletud era presentada por Sacristán en los siguientes terminus:
“Como resultado de los trabajos de Gödel (1933), queda, por otra parte, destruida la idea -o esperanza- de que el concepto de verdad en una teoría formalizada pueda ser siempre definido por medios estrictamente sintácticos, esto es, algorítmicos, calculísticos, sin consideración del campo significativo a que se refiere la teoría formalizada. El teorema de Gödel enseña, en efecto, que, dada una formulación lógica de la aritmética (que sea lo suficientemente rica como para formular en ella los axiomas de Peano, por ejemplo), hay siempre al menos una proposición aritmética verdadera que no es deducible en la formalización”.
Igualmente: “[…] La argumentación de Gödel demuestra que ya la parte de la lógica de predicados necesaria para formular la aritmética es incompleta, en el sentido de que existe al menos una fórmula de la teoría aritmética formulable en ella la cual es verdadera (cosa que se establece por un razonamiento metalógico, “metaaritmético”) y que, sin embargo, no puede ser demostrada en la formulación de la aritmética misma en la lógica de predicados.
Con algo más de detalle, usando un mayor número de conceptos definidos y acuñados con precision en el ámbito de la lógica formal:
“[…] La principal aportación a la lógica teórica del matemático y lógico austriaco Kurt Gödel (nacido en 1906. “Über formal unentscheidbare Sätze aus Principia Mathematica und verwandter Systeme” [Sobre las proposiciones formalmente indecidibles de Principia Mathematica y sistemas afines] 1931; The consistency of the Axiom of Choice and the generalized Continuum-Hypothesis with the Axioms of Set Theory ^[La consistencia del axioma de elección y la hipótesis generalizada del continuo con los axiomas de la teoría de conjuntos] 1940) es el teorema de incompletud que lleva su nombre. De este teorema se desprende otro, también de gran importancia lógica: el teorema que sienta la imposibilidad de formalizar la demostración de la consistencia de la lógica de predicados de orden superior con medios deductivos que no rebasen la potencia del algoritmo examinado en cada caso. Este teorema significa la imposibilidad de realizar al pie de la letra el programa de Hilbert. Otros importantes trabajos de Gödel que no se consideran aquí son su demostración de la completud del cálculo de predicados de primer orden y sus teorías matemáticas.
El célebre teorema de incompletud de Gödel se basa en una laboriosa demostración que consiste en construir un enunciado muy peculiar, perteneciente a la lógica de predicados de orden superior y, concretamente, a la parte de la misma que bastaría para formalizar la aritmética. Metalingüísticamente demuestra Gödel: 1º que ese enunciado es verdadero, porque su interpretación o significación metalingüística es verdadera; 2º que no es demostrable en el cálculo (o sea, que no es un teorema del cálculo). Esto establece la incompletud del cálculo de predicados de orden superior, y de la aritmética en particular...
La demostración de Gödel parte del presupuesto de que el cálculo de predicados es consistente. Si no se presupone eso, no tiene sentido discutir acerca de la completud del cálculo, porque un cálculo inconsistente lo demuestra todo, tanto lo verdadero cuanto lo falso. Es, por así decirlo, hipercompleto.
Luego Gödel construye una fórmula aritmética (1*), indemostrable en el cálculo. esta fórmula es del cálculo, y por tanto, en sí misma no significa nada. Pero su interpretación en el metalenguaje del cálculo dice así:
(1) La fórmula (1*) es indemostrable en el cálculo.
La fórmula (1*) es la construcción simbólica cuyo nombre metalingüístico es (1)... Gödel demuestra formalmente que (1*) es indemostrable en el cálculo. Su demostración puede evocarse intuitivamente así: si (1*) fuera demostrable en el cálculo, entonces sería verdadera su significación, (1). Pero la afirmación `(1*) es demostrable en el cálculo´ forma con (1) una contradicción. Por tanto, bajo el supuesto básico de que el cálculo es consistente (y consiguientemente de que es adecuada su interpretación metalingüística), (1*) no puede ser demostrada en el cálculo. Si a pesar de ello (1*) es una fórmula verdadera, quedará demostrado que la formalización de la aritmética en el cálculo de predicados es incompleta...”
¿Representaba el teorema gödeliano un fracaso de la lógica, un extravío de la razón humana, una prueba de la debilidad de nuestra racionalidad? Todo lo contrario:
“[…] El teorema de incompletud de Gödel enseña por de pronto que toda formalización de la aritmética en el cálculo de predicados es incompleta . Como el cálculo de predicados, sin limitación de orden, es el algoritmo lógico más potente, puede decirse, de un modo más general, que toda formalización de la aritmética es incompleta.
Pero el intento de formalización de la aritmética se realiza con medios puramente lógicos. Vimos ya que desde la teoría de conjuntos de Cantor, y luego por obra de Frege y Russell y Whitehead, el concepto de número natural se construye con la idea lógica de clase o conjunto...; también veremos que puede construirse también con ayuda de la idea puramente lógica de relación... Consiguientemente, la incompletud de la formalización de la aritmética es una incompletud del instrumento formalizador mismo, o sea, del algoritmo lógico. De aquí que el resultado de Gödel pueda entenderse también así: el cálculo de predicados es incompleto (Todos estos resultados se entienden con la condición de nuestro punto de partida, a saber, que el cálculo de predicados es consistente).
La lógica de predicados sin limitación de orden es aquella en la cual se intenta (sin éxito) formalizar la deducción para cualquier tipo de conocimiento que sea al menos de la complejidad de la aritmética. Y por debajo de la complejidad de la aritmética debe haber, puede pensarse, muy poco conocimiento teórico de interés. De aquí que, aún más laxamente, el teorema de Gödel haya podido entenderse también en el siguiente sentido filosófico: la lógica es incapaz de formalizar la deducción necesaria para fundamentar cualquier conocimiento de algún interés teórico. ”
Por este camino de interpretación cada vez más laxa y vaga del teorema de incompletud, proseguía Sacristán, algunos filósofos, Ortega entre ellos, habían llegado a afirmar que el resultado obtenido demostraba “el fracaso de la lógica”, incluso “el fracaso de la razón”. Estas afirmaciones carecían de fundamento, apuntaba Sacristán, como podía verse por las siguientes consideraciones.
“[…] En primer lugar, lo único que demuestra el teorema de Gödel es que resulta imposible conseguir un conjunto de axiomas y un juego de reglas de transformación que suministren todas las verdades formales expresables en el lenguaje de la lógica de predicados...
En segundo lugar, el hecho de que la lógica misma haya descubierto y demostrado los límites o la inviabilidad de una realización universal del programa algorítmico en su forma clásica, es más bien un éxito que un fracaso de la actividad capaz de tal resultado...
En tercer lugar, debe observarse que la incompletud de un cálculo lógico tomado en toda su dimensión no excluye la completud de cálculos parciales contenidos por él...
En cuarto lugar, por lo que hace a la aritmética misma, debe observarse que los enunciados cuya indemostrabilidad establece la argumentación de Gödel no son del mismo estilo, por así decirlo, que los teoremas clásicos de la aritmética, los cuales se refieren a operaciones con números y son los realmente utilizados en la aplicación a otras ciencias o a la técnica... Para estos teoremas de tipo “clásico” -o sea, para toda la parte “útil” de la aritmética (y de las disciplinas matemáticas basadas en ella, señaladamente el álgebra clásica y el cálculo infinitesimal)- se han construido cálculos (sistemas) que dan de sí todos los teoremas interesantes.
Por último, también puede conseguirse una cierta completud del cálculo de predicados en general aunque pagando por ella el precio de una cierta ambigüedad semántica del cálculo, pues el sistema permite entonces interpretaciones no primariamente deseadas. Este último punto, establecido por L. Henkin (1947, 1950), no va a interesarnos aquí, pero debe tenerse en cuenta cuando se considera la significación del teorema de Gödel para la teoría de la ciencia”.
De hecho, en su memoria para las oposiciones a la cátedra de lógica de Valencia de 1962 Sacristán hablaba del “mayor éxito algorímitco de la historia de la lógica”:
“[.,..] No hay duda de que ciertos lenguajes artificiales posibilitan la mecanización de la inferencia deductiva -más concretamente, la han posibilitado en la lógica simbólica contemporánea-, pero, y esto es decisivo, sólo dentro de ciertos límites (bastante modestos) que la misma investigación lógica contemporánea ha fijado formalmente: los teoremas de Gödel y Church son en efecto, al mismo tiempo que la culminación del mayor éxito algorítmico de la lógica, la destrucción definitiva del ideal algorítmico de la lógica, la destrucción definitiva del ideal logicista leibniziano: hoy es un teorema de la lógica (el de Gödel sobre la indecibilidad del cálculo de predicados en particular) -no sólo una fundada opinión del sentido común y de la conciencia filosófica- que la aspiración de resolver la metafísica y la filosofía en general en un algoritmo es irrealizable”.
En cuanto a si el teorema de incompletud de Gödel anulaba el programa de fundamentación formalista de la matemática de Hilbert, Sacristán señalaba con tacto:
“[…] En cuanto a si anula o no el programa formalista, el de Hilbert, las opiniones de los mayores especialistas están divididas. El propio Gödel pensaba que no, y en esta opinión le sigue A. Church. En cambio, J. von Neumann se ha expresado al respecto de esta categórica manera. “Mi opinión personal, compartida con muchos otros, es que Gödel ha demostrado que el programa de Hilbert es intrínsecamente irrealizable”.
Probablemente todo el mundo podría admitir una variante de esa afirmación de Von Neumann, a saber, que Gödel ha mostrado que el programa de Hilbert, tomado al pie de la letra en cuanto a su finitismo, es irrealizable.
La irrealizabilidad del programa estricto de Hilbert -la demostración de la consistencia de un cálculo con métodos que no rebasen la potencia de la de los suyos- se desprende, en efecto, del teorema de incompletud de Gödel. Este teorema puede formularse intuitivamente así:
(2) si la aritmética es consistente, entonces es incompleta
Se entiende que se trata de la aritmética formalizada en el cálculo de predicados y, por tanto, también de éste. Pero se conservará en esta reflexión el contexto matemático (aritmético), propio del planteamiento de Gödel. (2) puede escribirse:
(3) la aritmética es consistente -> la aritmética no es completa
Que la aritmética no es completa quiere decir que hay al menos una fórmula de la aritmética que es verdadera y, sin embargo, no es demostrable con los medios deductivos de la aritmética formalizada. Se conoce una tal fórmula, es la fórmula (1*) del anterior comentario. (1*), como se recordará es la fórmula del cálculo que corresponde o representa la afirmación metalógica 'la fórmula (verdadera) (1*) es indemostrable en el cálculo'. Por tanto, (1*) misma puede servir como representación en el cálculo del hecho de que éste es incompleto. De aquí que, en este contexto intuitivo, pueda expresarse (3) de la forma
(4) la aritmética es consistente -> (1*).
Esta sería una versión (intuitiva) del teorema de Gödel, que es un enunciado verdadero. Ahora bien: como (1*) no es demostrable en el cálculo, tampoco puede serlo el antecedente del condicional (4), porque de serlo lo sería también (1*) por modus ponens. Luego el antecedente, la afirmación de la consistencia del cálculo, no es demostrable en el cálculo, o sea, con medios deductivos de la potencia de los del cálculo”.
Sacristán concluía después de su exposición que estaba claro que el teorema destruía “el programa de Hilbert tomado al pie de la letra”, pero, en cambio, no mostrana “la esterilidad de ninguna de las ideas básicas del formalismo hilbertiano”:
“[…] 1ª. Que interesa reducir los sistemas teóricos a cálculos. El teorema de Gödel no muestra que esto no sea posible para los sistemas matemáticos “en sentido estricto", como decía Hilbert. 2ª Que conviene tratar en un metalenguaje -lo más formalizado posible, pero lenguaje, no mero cálculo- las propiedades de los cálculos. Es verdad que, a tenor del teorema de incompletud de Gödel, este tratamiento no será siempre tan concluyente como esperaba Hilbert con su finitismo. Pero eso es todo. La idea misma sigue siendo plausible. Y fecunda, como ha mostrado el ulterior desarrollo de la lógica”.
Un comentario de Sacristán sobre la enseñanza de los teoremas de Gödel apuntaba en la siguiente dirección:
“[…] La enseñanza del método axiomático y de la teoría de los sistemas axiomáticos completa la cultura sintáctica elemental de un estudiante de lógica, y da además las bases técnicas para el estudio de las cuestiones metalógicas fundamentales. Dejamos ya dicho que consideramos los teoremas de Gödel como una iniciación normal de una seria enseñanza elemental de la lógica. En la exposición y demostración de los mismos entendemos que es conveniente subrayar la naturaleza semántica del contexto al que pertenecen”.
El paso que Sacristán dedicó al teorema en las clases de metodología de 1981-1982 fue el siguiente:
“[…] El año 33, otro matemático muy influyente de este siglo, también de los que más, (Kurt Gödel) demostró que eso es imposible, demostró la imposibilidad de construir un sistema formal, axiomático, sin problemas lógicos, que fuera a la vez consistente y completo y fuera capaz de formalizar la aritmética, considerada como la fundamento de todo.
Esto lo que determinaba, a primera vista, luego se ha discutido mucho (yo me voy a detener ahí, porque no quería más que ejemplificar lo que quiere decir “crisis de fundamentos”, pero luego ha habido mucha historia, no creáis que eso se ha acabado aquí. Todavía ahora en las revistas de lógica y de filosofía de la lógica se disputa sobre el asunto. Yo lo voy a dejar ahora, no porque se haya zanjado, sino porque no nos interesa más), al demostrar Gödel que el programa de Hilbert, éste de formalización perfecta de la aritmética, era irrealizable ponía, por así decirlo, la guinda en el asunto de la crisis de fundamentos. Era la demostración, al menos así se diría en los años treinta, de que el formalismo no conseguiría nunca fundamentarse a sí mismo.
Esto es lo que quiere decir “crisis de fundamentos”. Como veréis investigaciones que, en realidad, más bien honran la capacidad científica, de modo que es casi curioso llamarla “crisis” porque son grandes investigaciones, de gran calidad, de gran penetración. En cierto sentido más bien son enormes éxitos de la capacidad científica teórica. Una demostración como la de Gödel, demostrar formalmente que ningún formalismo que recoja la aritmética es completo si es consistente, eso verdaderamente es una hazaña, una hazaña formal de primera magnitud, como lo prueba el que cincuenta años después las revistas siguen discutiendo qué quiere decir el teorema, y cuánto vale y cuánto no vale. Por tanto, en cierto sentido, llamar a eso crisis resulta ridículo. Ahora supongo que estará claro en qué sentido se entiende que es una crisis de fundamentos. En el sentido de que es la revelación de que no hay fundamentación absoluta.
Pues eso ha sido realmente, a la vez, el punto decisivo de constitución de la filosofía de la ciencia del siglo XX y, también, ya uno de sus primeros resultados. Prácticamente, resultados como el teorema de Gödel, eliminaban todavía más las viejas ambiciones de la filosofía de la ciencia en su formulación kantiana. Tal vez recordéis que cuando hablé de Kant como precedente de la filosofía de la ciencia nuestra, me referí a su programa como algo muy ambicioso. Lo que Kant ha querido ha sido precisar las condiciones del conocimiento en general. Una cosa, verdaderamente, muy ambiciosa. Su pregunta es: ¿cómo es posible conocimiento?. Mientras que después de resultados como el teorema de Gödel ya ni siquiera es la pregunta de la filosofía de la ciencia cómo se fundamenta el conocimiento, que eso ya se abandona como imposible, ni siquiera eso.
Salieron entonces formulaciones, varias formulaciones más restringidas, de la tarea de la filosofía de la ciencia, la más influyente de las cuales, desde los años cuarenta, es decir, a los diez años del teorema de Gödel, aproximadamente, hasta por lo menos el años 62 (me parezco ridículo a mí mismo jugando tanto con fechas, ésta es la verdad, pero, por otra parte, supongo que sirve para encuadrar los hechos). El año 62 es la fecha de aparición de La estructura de las revoluciones científicas de Kuhn que es un libro que ha influído mucho en los economistas, que conste. Ahora ya mucho menos, pero en los años sesenta y setenta influyó mucho en teoría económica”.
Sus observaciones sobre el excelente libro de divulgación lógica de Nagel y Newman sobre el teorema de Gódel puede cerrar esta aproximación.
Anexo: El teorema de inompletud de Gödel en la presentación de Nagel y Newman. Anotaciones de Sacristán.
Las siguientes observaciones son anotaciones de Sacristán, de una de las carpetas de resúmenes depositadas en Reserva de la BC de la UB, sobre el ensayo de Ernest Nagel y James R. Newman, El teorema de Gödel .
Sacristán cita por la edición italiana (La prova di Gödel) de 1961.
“1. Introducción.
Generalidades sistemáticas e históricas sobre el método axiomático.
2. El problema de la consistencia [Il problema della compatibilità].
a) Se hizo de la geometría euclídea modelo de la de Riemann. Pero esto sólo desplaza el problema (pp. 23-24).
b) ¿Y la euclídea? .Recusación del criterio de evidencia. .Criterio de experiencia, pero insuficiencia lógica de la inducción (pp.25-26). .El resultado de Gödel, sin embargo, mostrará que éste es el único.
c) Hilbert y la algebrización (modelo algebraico de la geometría): misma cuestión: es desplazar el problema (p. 27).
d) Apéndice: repetición de que no se puede recurrir a las nociones evidentes, “claras y distintas”. La noción de clase y la paradoja de Russell.
3. Pruebas absolutas de consistencia.
a) Para evitar las pruebas “relativas”.
b) Hilbert y la formalización completa. Cálculos.
c) El ejemplo del ajedrez y el meta-ajedrez (p. 39).
4. La codificación sistemática de la lógica formal.
5. Un ejemplo de prueba absoluta de consistencia válida.
I. Consistencia: a) Formalización cálculo proposicional; b) Demostración de su consistencia. 1. Reducción del problema a la demostración de que hay un ‘q’ no deducible. 2. Método: decir queda de propiedad común a los axiomas, hereditaria según las reglas y que no posee q. 3. Es la propiedad tautológica. 4. Demostración de que el sistema es tautológico. 4´. Reformulación sin V y F, con las clases K 1 y K 2 . Discusión del alcance filosófico de la semántica. 5. q = p v q, por ejemplo, que no es tautológica.
II. Completud. Noción intuitiva y formulación del problema de Gödel.
6. La idea de representación y su empleo en las matemáticas.
a) Lo establecido por Gödel, formulado así (p. 66).
b) Cómo lo estableció: el ejemplo de la paradoja de Richard y su deficiencia.
c) Naturaleza de la demostración de Gödel. Observación: Son dos pájaros de un tiro.
7. La prueba de Gödel.
a) La numeración de Gödel: exposición de la aritmetización del ´cálculo formal (o sea, de la aritmética formalizada).
b) La aritmetización de la metamatemática (pp.81-82).
c) El núcleo de la argumentación de Gödel:
1’. Secuencia de los razonamientos. (1º)
1’’. Construcción de la fórmula aritmética G que representa a la propia metamatemática: “G es indemostrable”, mediante número de Gödel; (2º)
2’’. Demostración de que G es demostrable sólo si lo es no G. Por tanto, si el cálculo es consistente, no son demostrables en él ni G ni no-G; (3º)
3’’. Demostración de que G es verdadera; (4º)
4’’. Luego los axiomas son incompletos. Generalización. (5º) 5’’:1’’’. Construcción de la fórmula aritmética que representa la proposición metamatemática “la aritmética es consistente”. 2’’’. Demostración de A -> G. 3’’’. Demostración de que A no es demostrable. 4’’’. Luego la consistencia de la aritmética no puede demostrarse con argumentos representables en el cálculo formal.
2´. El razonamiento en detalle.
[SLA: Desarrollo formal del razonamiento que no reproduzco]
Observación final: Todo el nervio de la demostración, y lo que le salva de las objeciones planteadas a las paradojas de Richard y de Epiménides, se basa en que G es de verdad una fórmula matemática y no del metalenguaje, aunque represente a una proposición del metalenguaje. Esto es posible por la aritmetización gödeliana de la metamatemática. En concreto, es posible porque la proposición metamatemática: ‘la fórmula G es indemostrable’ está presentada por la fórmula del cálculo
‘ (x) - Dem [x, subt (n, 13, n) ]
Y esto es en el fondo posible porque el concepto metamatemático de ‘demostrable’ es representado por la relación entre números, aritmética ‘ Dem (x,y).”
PS : En las clases de metodología de las ciencias sociales del curso 1980-81, un alumno de quinto curso de la Facultad de Económicas, sin formación lógica, preguntó a Sacristán por el teorema de Gödel y su importancia y significado. Había sabido de su existencia tras la lectura de un libro de metología, de autoría francesa por cierto, que estábamos siguiendo en clase. No parecía posible que Sacristán pudiese satisfacer mínimamente la demanda del estudiante. ¿Cómo explicar un teorema así a una persona sin preparación previa? Sacristán lo consiguió, tardó unos diez minutos. Lo especial del teorema, sin entrar en ninguna complejidad técnica, fue explicado por él, por aquel professor inolvidable, a los estudiantes de Económicas de la UB en aquella mañana de febrero de 1981, unos diez días antes de la intentona golpista del 23 de febrero.
Notas:
[1] Luis Vega Reñon, “El lugar de Sacristán en los estudios de lógica en España”. En Salvador López Arnal, Albert Domingo et al (eds), Donde no habita el olvido . Montesinos, Barcelona, 2005, pp. 19-49. Véanse igualmente las declaraciones de Luis Vega Reñón para los documentales de Xavier Juncosa, “Integral de Sacristán”, El Viejo Topo, Barcelona, 2006.
[2] Paula Olmos y Luis Vega, “La recepción de Gödel en España”. Éndoxa , nº 17, 2003, pp. 379-415. UNED, Madrid. De Paula Olmos, véase también “La recepción en España del teorema de Gödel: la labor de Manuel Sacristán”. En Salvador López Arnal, Albert Domingo et al (eds), Donde no habita el olvido , ed cit, pp. 287-303.
[3] En la nota 32 de su trabajo, señala Luis Vega: “Técnicamente, sólo cabría objetar a la exposición de Sacristán alguna confusión ocasional entre los planos sintáctico y semántico” (p. 38).
Lo esencial de la aportación gödeliana era apuntado por el propio Sacristán en las clases de metodología de las ciencias sociales del curso 1983-1984 en los términos siguientes:
En primer lugar, señalaba, lo que Gödel había demostrado es que no era posible construir un cálculo que fuera, simultáneamente, completo y consistente y que tuviera toda la expresividad de la aritmética, pero sí, en cambio,
“[…] puede haber cálculos parciales que sea su vez completos y no contradictorios. Es decir, el teorema de incompletud prueba es que no es posible construir un cálculo que resuelva todos los problemas de la aritmética, pero no impide que podamos construir un cálculo efectivo frente a determinado problema”.
Por otra parte, lo que el teorema de incompletud de Gödel parecía señalar es que “no es posible buscar fundamentos definitivos y absolutos del conocimiento científico, ni siquiera en el ámbito de las ciencias formales”.
Finalmente, concluía Sacristán, el teorema de Gödel habría que verlo más bien “como un éxito de la lógica y de la matemática que como fracaso alguno: son las únicas disciplinas que han sido capaces de decir hasta donde pueden llegar”.
No fue la única ocasión en esos años. Como un Sokal-Bricmont avant la lettre, Sacristán comentó críticamente en las clases de metodología de 1981-82 los usos imprecisos y poco informados de Régis Debray en algunos ensayos de teoría política publicados en España en aquellos años (al igual que en algunos de sus comentaristas) en los que la noción de completed e incompletud se estiraba de forma excesivamente metafórica y arriesgada.
Pero fue en sus dos libros de lógica donde se aproximó a la figura de Gödel, a sus teoremas y a las implicacioes filosóficas de estos con más detalle. Especialmente, en Introducción a la lógica y al análisis formal . Las páginas dedicadas a Gödel en Lógica elemental , el ensayo que su hija Vera Sacristán editó en Vicens Vices diez años después de su fallecimiento, pueden verse en la última sección del volumen, “Esquema de historia de la lógica”, páginas 340-345.
De estos dos libros, y de algunos materiales complementarios he entresacado algunas de sus consideraciones más centrales.
Una síntesis del teorema de incompletud era presentada por Sacristán en los siguientes terminus:
“Como resultado de los trabajos de Gödel (1933), queda, por otra parte, destruida la idea -o esperanza- de que el concepto de verdad en una teoría formalizada pueda ser siempre definido por medios estrictamente sintácticos, esto es, algorítmicos, calculísticos, sin consideración del campo significativo a que se refiere la teoría formalizada. El teorema de Gödel enseña, en efecto, que, dada una formulación lógica de la aritmética (que sea lo suficientemente rica como para formular en ella los axiomas de Peano, por ejemplo), hay siempre al menos una proposición aritmética verdadera que no es deducible en la formalización”.
Igualmente: “[…] La argumentación de Gödel demuestra que ya la parte de la lógica de predicados necesaria para formular la aritmética es incompleta, en el sentido de que existe al menos una fórmula de la teoría aritmética formulable en ella la cual es verdadera (cosa que se establece por un razonamiento metalógico, “metaaritmético”) y que, sin embargo, no puede ser demostrada en la formulación de la aritmética misma en la lógica de predicados.
Con algo más de detalle, usando un mayor número de conceptos definidos y acuñados con precision en el ámbito de la lógica formal:
“[…] La principal aportación a la lógica teórica del matemático y lógico austriaco Kurt Gödel (nacido en 1906. “Über formal unentscheidbare Sätze aus Principia Mathematica und verwandter Systeme” [Sobre las proposiciones formalmente indecidibles de Principia Mathematica y sistemas afines] 1931; The consistency of the Axiom of Choice and the generalized Continuum-Hypothesis with the Axioms of Set Theory ^[La consistencia del axioma de elección y la hipótesis generalizada del continuo con los axiomas de la teoría de conjuntos] 1940) es el teorema de incompletud que lleva su nombre. De este teorema se desprende otro, también de gran importancia lógica: el teorema que sienta la imposibilidad de formalizar la demostración de la consistencia de la lógica de predicados de orden superior con medios deductivos que no rebasen la potencia del algoritmo examinado en cada caso. Este teorema significa la imposibilidad de realizar al pie de la letra el programa de Hilbert. Otros importantes trabajos de Gödel que no se consideran aquí son su demostración de la completud del cálculo de predicados de primer orden y sus teorías matemáticas.
El célebre teorema de incompletud de Gödel se basa en una laboriosa demostración que consiste en construir un enunciado muy peculiar, perteneciente a la lógica de predicados de orden superior y, concretamente, a la parte de la misma que bastaría para formalizar la aritmética. Metalingüísticamente demuestra Gödel: 1º que ese enunciado es verdadero, porque su interpretación o significación metalingüística es verdadera; 2º que no es demostrable en el cálculo (o sea, que no es un teorema del cálculo). Esto establece la incompletud del cálculo de predicados de orden superior, y de la aritmética en particular...
La demostración de Gödel parte del presupuesto de que el cálculo de predicados es consistente. Si no se presupone eso, no tiene sentido discutir acerca de la completud del cálculo, porque un cálculo inconsistente lo demuestra todo, tanto lo verdadero cuanto lo falso. Es, por así decirlo, hipercompleto.
Luego Gödel construye una fórmula aritmética (1*), indemostrable en el cálculo. esta fórmula es del cálculo, y por tanto, en sí misma no significa nada. Pero su interpretación en el metalenguaje del cálculo dice así:
(1) La fórmula (1*) es indemostrable en el cálculo.
La fórmula (1*) es la construcción simbólica cuyo nombre metalingüístico es (1)... Gödel demuestra formalmente que (1*) es indemostrable en el cálculo. Su demostración puede evocarse intuitivamente así: si (1*) fuera demostrable en el cálculo, entonces sería verdadera su significación, (1). Pero la afirmación `(1*) es demostrable en el cálculo´ forma con (1) una contradicción. Por tanto, bajo el supuesto básico de que el cálculo es consistente (y consiguientemente de que es adecuada su interpretación metalingüística), (1*) no puede ser demostrada en el cálculo. Si a pesar de ello (1*) es una fórmula verdadera, quedará demostrado que la formalización de la aritmética en el cálculo de predicados es incompleta...”
¿Representaba el teorema gödeliano un fracaso de la lógica, un extravío de la razón humana, una prueba de la debilidad de nuestra racionalidad? Todo lo contrario:
“[…] El teorema de incompletud de Gödel enseña por de pronto que toda formalización de la aritmética en el cálculo de predicados es incompleta . Como el cálculo de predicados, sin limitación de orden, es el algoritmo lógico más potente, puede decirse, de un modo más general, que toda formalización de la aritmética es incompleta.
Pero el intento de formalización de la aritmética se realiza con medios puramente lógicos. Vimos ya que desde la teoría de conjuntos de Cantor, y luego por obra de Frege y Russell y Whitehead, el concepto de número natural se construye con la idea lógica de clase o conjunto...; también veremos que puede construirse también con ayuda de la idea puramente lógica de relación... Consiguientemente, la incompletud de la formalización de la aritmética es una incompletud del instrumento formalizador mismo, o sea, del algoritmo lógico. De aquí que el resultado de Gödel pueda entenderse también así: el cálculo de predicados es incompleto (Todos estos resultados se entienden con la condición de nuestro punto de partida, a saber, que el cálculo de predicados es consistente).
La lógica de predicados sin limitación de orden es aquella en la cual se intenta (sin éxito) formalizar la deducción para cualquier tipo de conocimiento que sea al menos de la complejidad de la aritmética. Y por debajo de la complejidad de la aritmética debe haber, puede pensarse, muy poco conocimiento teórico de interés. De aquí que, aún más laxamente, el teorema de Gödel haya podido entenderse también en el siguiente sentido filosófico: la lógica es incapaz de formalizar la deducción necesaria para fundamentar cualquier conocimiento de algún interés teórico. ”
Por este camino de interpretación cada vez más laxa y vaga del teorema de incompletud, proseguía Sacristán, algunos filósofos, Ortega entre ellos, habían llegado a afirmar que el resultado obtenido demostraba “el fracaso de la lógica”, incluso “el fracaso de la razón”. Estas afirmaciones carecían de fundamento, apuntaba Sacristán, como podía verse por las siguientes consideraciones.
“[…] En primer lugar, lo único que demuestra el teorema de Gödel es que resulta imposible conseguir un conjunto de axiomas y un juego de reglas de transformación que suministren todas las verdades formales expresables en el lenguaje de la lógica de predicados...
En segundo lugar, el hecho de que la lógica misma haya descubierto y demostrado los límites o la inviabilidad de una realización universal del programa algorítmico en su forma clásica, es más bien un éxito que un fracaso de la actividad capaz de tal resultado...
En tercer lugar, debe observarse que la incompletud de un cálculo lógico tomado en toda su dimensión no excluye la completud de cálculos parciales contenidos por él...
En cuarto lugar, por lo que hace a la aritmética misma, debe observarse que los enunciados cuya indemostrabilidad establece la argumentación de Gödel no son del mismo estilo, por así decirlo, que los teoremas clásicos de la aritmética, los cuales se refieren a operaciones con números y son los realmente utilizados en la aplicación a otras ciencias o a la técnica... Para estos teoremas de tipo “clásico” -o sea, para toda la parte “útil” de la aritmética (y de las disciplinas matemáticas basadas en ella, señaladamente el álgebra clásica y el cálculo infinitesimal)- se han construido cálculos (sistemas) que dan de sí todos los teoremas interesantes.
Por último, también puede conseguirse una cierta completud del cálculo de predicados en general aunque pagando por ella el precio de una cierta ambigüedad semántica del cálculo, pues el sistema permite entonces interpretaciones no primariamente deseadas. Este último punto, establecido por L. Henkin (1947, 1950), no va a interesarnos aquí, pero debe tenerse en cuenta cuando se considera la significación del teorema de Gödel para la teoría de la ciencia”.
De hecho, en su memoria para las oposiciones a la cátedra de lógica de Valencia de 1962 Sacristán hablaba del “mayor éxito algorímitco de la historia de la lógica”:
“[.,..] No hay duda de que ciertos lenguajes artificiales posibilitan la mecanización de la inferencia deductiva -más concretamente, la han posibilitado en la lógica simbólica contemporánea-, pero, y esto es decisivo, sólo dentro de ciertos límites (bastante modestos) que la misma investigación lógica contemporánea ha fijado formalmente: los teoremas de Gödel y Church son en efecto, al mismo tiempo que la culminación del mayor éxito algorítmico de la lógica, la destrucción definitiva del ideal algorítmico de la lógica, la destrucción definitiva del ideal logicista leibniziano: hoy es un teorema de la lógica (el de Gödel sobre la indecibilidad del cálculo de predicados en particular) -no sólo una fundada opinión del sentido común y de la conciencia filosófica- que la aspiración de resolver la metafísica y la filosofía en general en un algoritmo es irrealizable”.
En cuanto a si el teorema de incompletud de Gödel anulaba el programa de fundamentación formalista de la matemática de Hilbert, Sacristán señalaba con tacto:
“[…] En cuanto a si anula o no el programa formalista, el de Hilbert, las opiniones de los mayores especialistas están divididas. El propio Gödel pensaba que no, y en esta opinión le sigue A. Church. En cambio, J. von Neumann se ha expresado al respecto de esta categórica manera. “Mi opinión personal, compartida con muchos otros, es que Gödel ha demostrado que el programa de Hilbert es intrínsecamente irrealizable”.
Probablemente todo el mundo podría admitir una variante de esa afirmación de Von Neumann, a saber, que Gödel ha mostrado que el programa de Hilbert, tomado al pie de la letra en cuanto a su finitismo, es irrealizable.
La irrealizabilidad del programa estricto de Hilbert -la demostración de la consistencia de un cálculo con métodos que no rebasen la potencia de la de los suyos- se desprende, en efecto, del teorema de incompletud de Gödel. Este teorema puede formularse intuitivamente así:
(2) si la aritmética es consistente, entonces es incompleta
Se entiende que se trata de la aritmética formalizada en el cálculo de predicados y, por tanto, también de éste. Pero se conservará en esta reflexión el contexto matemático (aritmético), propio del planteamiento de Gödel. (2) puede escribirse:
(3) la aritmética es consistente -> la aritmética no es completa
Que la aritmética no es completa quiere decir que hay al menos una fórmula de la aritmética que es verdadera y, sin embargo, no es demostrable con los medios deductivos de la aritmética formalizada. Se conoce una tal fórmula, es la fórmula (1*) del anterior comentario. (1*), como se recordará es la fórmula del cálculo que corresponde o representa la afirmación metalógica 'la fórmula (verdadera) (1*) es indemostrable en el cálculo'. Por tanto, (1*) misma puede servir como representación en el cálculo del hecho de que éste es incompleto. De aquí que, en este contexto intuitivo, pueda expresarse (3) de la forma
(4) la aritmética es consistente -> (1*).
Esta sería una versión (intuitiva) del teorema de Gödel, que es un enunciado verdadero. Ahora bien: como (1*) no es demostrable en el cálculo, tampoco puede serlo el antecedente del condicional (4), porque de serlo lo sería también (1*) por modus ponens. Luego el antecedente, la afirmación de la consistencia del cálculo, no es demostrable en el cálculo, o sea, con medios deductivos de la potencia de los del cálculo”.
Sacristán concluía después de su exposición que estaba claro que el teorema destruía “el programa de Hilbert tomado al pie de la letra”, pero, en cambio, no mostrana “la esterilidad de ninguna de las ideas básicas del formalismo hilbertiano”:
“[…] 1ª. Que interesa reducir los sistemas teóricos a cálculos. El teorema de Gödel no muestra que esto no sea posible para los sistemas matemáticos “en sentido estricto", como decía Hilbert. 2ª Que conviene tratar en un metalenguaje -lo más formalizado posible, pero lenguaje, no mero cálculo- las propiedades de los cálculos. Es verdad que, a tenor del teorema de incompletud de Gödel, este tratamiento no será siempre tan concluyente como esperaba Hilbert con su finitismo. Pero eso es todo. La idea misma sigue siendo plausible. Y fecunda, como ha mostrado el ulterior desarrollo de la lógica”.
Un comentario de Sacristán sobre la enseñanza de los teoremas de Gödel apuntaba en la siguiente dirección:
“[…] La enseñanza del método axiomático y de la teoría de los sistemas axiomáticos completa la cultura sintáctica elemental de un estudiante de lógica, y da además las bases técnicas para el estudio de las cuestiones metalógicas fundamentales. Dejamos ya dicho que consideramos los teoremas de Gödel como una iniciación normal de una seria enseñanza elemental de la lógica. En la exposición y demostración de los mismos entendemos que es conveniente subrayar la naturaleza semántica del contexto al que pertenecen”.
El paso que Sacristán dedicó al teorema en las clases de metodología de 1981-1982 fue el siguiente:
“[…] El año 33, otro matemático muy influyente de este siglo, también de los que más, (Kurt Gödel) demostró que eso es imposible, demostró la imposibilidad de construir un sistema formal, axiomático, sin problemas lógicos, que fuera a la vez consistente y completo y fuera capaz de formalizar la aritmética, considerada como la fundamento de todo.
Esto lo que determinaba, a primera vista, luego se ha discutido mucho (yo me voy a detener ahí, porque no quería más que ejemplificar lo que quiere decir “crisis de fundamentos”, pero luego ha habido mucha historia, no creáis que eso se ha acabado aquí. Todavía ahora en las revistas de lógica y de filosofía de la lógica se disputa sobre el asunto. Yo lo voy a dejar ahora, no porque se haya zanjado, sino porque no nos interesa más), al demostrar Gödel que el programa de Hilbert, éste de formalización perfecta de la aritmética, era irrealizable ponía, por así decirlo, la guinda en el asunto de la crisis de fundamentos. Era la demostración, al menos así se diría en los años treinta, de que el formalismo no conseguiría nunca fundamentarse a sí mismo.
Esto es lo que quiere decir “crisis de fundamentos”. Como veréis investigaciones que, en realidad, más bien honran la capacidad científica, de modo que es casi curioso llamarla “crisis” porque son grandes investigaciones, de gran calidad, de gran penetración. En cierto sentido más bien son enormes éxitos de la capacidad científica teórica. Una demostración como la de Gödel, demostrar formalmente que ningún formalismo que recoja la aritmética es completo si es consistente, eso verdaderamente es una hazaña, una hazaña formal de primera magnitud, como lo prueba el que cincuenta años después las revistas siguen discutiendo qué quiere decir el teorema, y cuánto vale y cuánto no vale. Por tanto, en cierto sentido, llamar a eso crisis resulta ridículo. Ahora supongo que estará claro en qué sentido se entiende que es una crisis de fundamentos. En el sentido de que es la revelación de que no hay fundamentación absoluta.
Pues eso ha sido realmente, a la vez, el punto decisivo de constitución de la filosofía de la ciencia del siglo XX y, también, ya uno de sus primeros resultados. Prácticamente, resultados como el teorema de Gödel, eliminaban todavía más las viejas ambiciones de la filosofía de la ciencia en su formulación kantiana. Tal vez recordéis que cuando hablé de Kant como precedente de la filosofía de la ciencia nuestra, me referí a su programa como algo muy ambicioso. Lo que Kant ha querido ha sido precisar las condiciones del conocimiento en general. Una cosa, verdaderamente, muy ambiciosa. Su pregunta es: ¿cómo es posible conocimiento?. Mientras que después de resultados como el teorema de Gödel ya ni siquiera es la pregunta de la filosofía de la ciencia cómo se fundamenta el conocimiento, que eso ya se abandona como imposible, ni siquiera eso.
Salieron entonces formulaciones, varias formulaciones más restringidas, de la tarea de la filosofía de la ciencia, la más influyente de las cuales, desde los años cuarenta, es decir, a los diez años del teorema de Gödel, aproximadamente, hasta por lo menos el años 62 (me parezco ridículo a mí mismo jugando tanto con fechas, ésta es la verdad, pero, por otra parte, supongo que sirve para encuadrar los hechos). El año 62 es la fecha de aparición de La estructura de las revoluciones científicas de Kuhn que es un libro que ha influído mucho en los economistas, que conste. Ahora ya mucho menos, pero en los años sesenta y setenta influyó mucho en teoría económica”.
Sus observaciones sobre el excelente libro de divulgación lógica de Nagel y Newman sobre el teorema de Gódel puede cerrar esta aproximación.
Anexo: El teorema de inompletud de Gödel en la presentación de Nagel y Newman. Anotaciones de Sacristán.
Las siguientes observaciones son anotaciones de Sacristán, de una de las carpetas de resúmenes depositadas en Reserva de la BC de la UB, sobre el ensayo de Ernest Nagel y James R. Newman, El teorema de Gödel .
Sacristán cita por la edición italiana (La prova di Gödel) de 1961.
“1. Introducción.
Generalidades sistemáticas e históricas sobre el método axiomático.
2. El problema de la consistencia [Il problema della compatibilità].
a) Se hizo de la geometría euclídea modelo de la de Riemann. Pero esto sólo desplaza el problema (pp. 23-24).
b) ¿Y la euclídea? .Recusación del criterio de evidencia. .Criterio de experiencia, pero insuficiencia lógica de la inducción (pp.25-26). .El resultado de Gödel, sin embargo, mostrará que éste es el único.
c) Hilbert y la algebrización (modelo algebraico de la geometría): misma cuestión: es desplazar el problema (p. 27).
d) Apéndice: repetición de que no se puede recurrir a las nociones evidentes, “claras y distintas”. La noción de clase y la paradoja de Russell.
3. Pruebas absolutas de consistencia.
a) Para evitar las pruebas “relativas”.
b) Hilbert y la formalización completa. Cálculos.
c) El ejemplo del ajedrez y el meta-ajedrez (p. 39).
4. La codificación sistemática de la lógica formal.
5. Un ejemplo de prueba absoluta de consistencia válida.
I. Consistencia: a) Formalización cálculo proposicional; b) Demostración de su consistencia. 1. Reducción del problema a la demostración de que hay un ‘q’ no deducible. 2. Método: decir queda de propiedad común a los axiomas, hereditaria según las reglas y que no posee q. 3. Es la propiedad tautológica. 4. Demostración de que el sistema es tautológico. 4´. Reformulación sin V y F, con las clases K 1 y K 2 . Discusión del alcance filosófico de la semántica. 5. q = p v q, por ejemplo, que no es tautológica.
II. Completud. Noción intuitiva y formulación del problema de Gödel.
6. La idea de representación y su empleo en las matemáticas.
a) Lo establecido por Gödel, formulado así (p. 66).
b) Cómo lo estableció: el ejemplo de la paradoja de Richard y su deficiencia.
c) Naturaleza de la demostración de Gödel. Observación: Son dos pájaros de un tiro.
7. La prueba de Gödel.
a) La numeración de Gödel: exposición de la aritmetización del ´cálculo formal (o sea, de la aritmética formalizada).
b) La aritmetización de la metamatemática (pp.81-82).
c) El núcleo de la argumentación de Gödel:
1’. Secuencia de los razonamientos. (1º)
1’’. Construcción de la fórmula aritmética G que representa a la propia metamatemática: “G es indemostrable”, mediante número de Gödel; (2º)
2’’. Demostración de que G es demostrable sólo si lo es no G. Por tanto, si el cálculo es consistente, no son demostrables en él ni G ni no-G; (3º)
3’’. Demostración de que G es verdadera; (4º)
4’’. Luego los axiomas son incompletos. Generalización. (5º) 5’’:1’’’. Construcción de la fórmula aritmética que representa la proposición metamatemática “la aritmética es consistente”. 2’’’. Demostración de A -> G. 3’’’. Demostración de que A no es demostrable. 4’’’. Luego la consistencia de la aritmética no puede demostrarse con argumentos representables en el cálculo formal.
2´. El razonamiento en detalle.
[SLA: Desarrollo formal del razonamiento que no reproduzco]
Observación final: Todo el nervio de la demostración, y lo que le salva de las objeciones planteadas a las paradojas de Richard y de Epiménides, se basa en que G es de verdad una fórmula matemática y no del metalenguaje, aunque represente a una proposición del metalenguaje. Esto es posible por la aritmetización gödeliana de la metamatemática. En concreto, es posible porque la proposición metamatemática: ‘la fórmula G es indemostrable’ está presentada por la fórmula del cálculo
‘ (x) - Dem [x, subt (n, 13, n) ]
Y esto es en el fondo posible porque el concepto metamatemático de ‘demostrable’ es representado por la relación entre números, aritmética ‘ Dem (x,y).”
PS : En las clases de metodología de las ciencias sociales del curso 1980-81, un alumno de quinto curso de la Facultad de Económicas, sin formación lógica, preguntó a Sacristán por el teorema de Gödel y su importancia y significado. Había sabido de su existencia tras la lectura de un libro de metología, de autoría francesa por cierto, que estábamos siguiendo en clase. No parecía posible que Sacristán pudiese satisfacer mínimamente la demanda del estudiante. ¿Cómo explicar un teorema así a una persona sin preparación previa? Sacristán lo consiguió, tardó unos diez minutos. Lo especial del teorema, sin entrar en ninguna complejidad técnica, fue explicado por él, por aquel professor inolvidable, a los estudiantes de Económicas de la UB en aquella mañana de febrero de 1981, unos diez días antes de la intentona golpista del 23 de febrero.
Notas:
[1] Luis Vega Reñon, “El lugar de Sacristán en los estudios de lógica en España”. En Salvador López Arnal, Albert Domingo et al (eds), Donde no habita el olvido . Montesinos, Barcelona, 2005, pp. 19-49. Véanse igualmente las declaraciones de Luis Vega Reñón para los documentales de Xavier Juncosa, “Integral de Sacristán”, El Viejo Topo, Barcelona, 2006.
[2] Paula Olmos y Luis Vega, “La recepción de Gödel en España”. Éndoxa , nº 17, 2003, pp. 379-415. UNED, Madrid. De Paula Olmos, véase también “La recepción en España del teorema de Gödel: la labor de Manuel Sacristán”. En Salvador López Arnal, Albert Domingo et al (eds), Donde no habita el olvido , ed cit, pp. 287-303.
[3] En la nota 32 de su trabajo, señala Luis Vega: “Técnicamente, sólo cabría objetar a la exposición de Sacristán alguna confusión ocasional entre los planos sintáctico y semántico” (p. 38).
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